Four-loop massive vacuum wheel · Symbolica Gallery

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.13%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3D%3D0.24.0%22%2C%20%22symbolica%3D%3D3.0.0%22%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22Four-loop%20massive%20vacuum%20wheel%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20from%20time%20import%20perf_counter%0A%20%20%20%20from%20symbolica%20import%20E%2C%20Replacement%2C%20S%2C%20get_citations%0A%20%20%20%20from%20symbolica.community%20import%20hepkit%20as%20hep%0A%0A%20%20%20%20return%20E%2C%20Replacement%2C%20S%2C%20get_citations%2C%20hep%2C%20mo%2C%20perf_counter%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Four-loop%20massive%20vacuum%20wheel%0A%0A%20%20%20%20Eight%20equal-mass%20propagators%2C%20five%20vertices%2C%20**four%20loops**.%0A%20%20%20%20Build%20an%20%5BIBP%20rule%5D(https%3A%2F%2Fsymbolica.io%2Fdocs%2Fpython_api%2Fcommunity%2Fhepkit%2FIBPFamily.html)%2C%0A%20%20%20%20apply%20it%2C%20then%20stress-test%20larger%20powers.%20Set%20%24M%3Dm%5E2%3E0%24%20and%0A%20%20%20%20%24W(%5Cmathbf%20a)%3D%5Cint%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E4d%5Edk_i%5C%2C%5Cprod_%7Bj%3D1%7D%5E8D_j%5E%7B-a_j%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20A%20topology%20drawing%2C%20independent%20of%20any%20interaction%20model.%20Edge%20numbering%0A%20%20%20%20%23%20follows%20the%20denominator%20list%20below%3B%20the%20two%20auxiliary%20coordinates%20are%20absent.%0A%20%20%20%20_vertices%20%3D%20%5B(65%2C%2035)%2C%20(245%2C%2035)%2C%20(245%2C%20215)%2C%20(65%2C%20215)%2C%20(155%2C%20125)%5D%0A%20%20%20%20_edges%20%3D%20%5B(0%2C%201)%2C%20(1%2C%202)%2C%20(2%2C%203)%2C%20(3%2C%200)%2C%20(4%2C%201)%2C%20(4%2C%202)%2C%20(4%2C%203)%2C%20(4%2C%200)%5D%0A%20%20%20%20_labels%20%3D%20%5B(155%2C%2022)%2C%20(267%2C%20128)%2C%20(155%2C%20239)%2C%20(42%2C%20128)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(213%2C%2074)%2C%20(214%2C%20178)%2C%20(97%2C%20178)%2C%20(97%2C%2074)%5D%0A%20%20%20%20_svg%20%3D%20'%3Csvg%20viewBox%3D%220%200%20310%20258%22%20role%3D%22img%22%20aria-label%3D%22Four-loop%20wheel%3A%20four%20rim%20edges%20and%20four%20spokes%22%20style%3D%22width%3A280px%3Bmax-width%3A100%25%3Bheight%3Aauto%22%3E'%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20((_u%2C%20_v)%2C%20(_x%2C%20_y))%20in%20enumerate(zip(_edges%2C%20_labels)%2C%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x1%2C%20_y1%20%3D%20_vertices%5B_u%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x2%2C%20_y2%20%3D%20_vertices%5B_v%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_color%20%3D%20%22%23568bd8%22%20if%20_i%20%3C%3D%204%20else%20%22%23159c91%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_svg%20%2B%3D%20f'%3Cline%20x1%3D%22%7B_x1%7D%22%20y1%3D%22%7B_y1%7D%22%20x2%3D%22%7B_x2%7D%22%20y2%3D%22%7B_y2%7D%22%20stroke%3D%22%7B_color%7D%22%20stroke-width%3D%222.5%22%2F%3E%3Ctext%20x%3D%22%7B_x%7D%22%20y%3D%22%7B_y%7D%22%20text-anchor%3D%22middle%22%20fill%3D%22currentColor%22%20font-size%3D%2213%22%3ED%7B_i%7D%3C%2Ftext%3E'%0A%20%20%20%20for%20_x%2C%20_y%20in%20_vertices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_svg%20%2B%3D%20f'%3Ccircle%20cx%3D%22%7B_x%7D%22%20cy%3D%22%7B_y%7D%22%20r%3D%224%22%20fill%3D%22currentColor%22%2F%3E'%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(_svg%20%2B%20'%3C%2Fsvg%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22**Rim**%20%C2%B7%20%24D_i%3Dk_i%5E2-M%24%2C%20%24i%3D1%2C%5Cldots%2C4%24.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22**Spokes**%20%C2%B7%20%24D_%7B4%2Bi%7D%3D(k_i-k_%7Bi%2B1%7D)%5E2-M%24%2C%20with%20%24k_5%3Dk_1%24.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22Every%20line%20has%20mass%20%24m%24.%20No%20external%20legs.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%2C%0A%20%20%20%20%5D%2C%20justify%3D%22center%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(hep%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20not%20hasattr(hep%2C%20%22IBPFamily%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Run%20this%20notebook%20locally.**%20The%20gallery's%20WebAssembly%20build%20does%20not%0A%20%20%20%20%20%20%20%20include%20%60IBPFamily%60.%20Download%20the%20%5Bnotebook%5D(four_loop_vacuum.py)%2C%20install%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%20native%20Symbolica%20community%20build%20with%20IBP%20support%20and%20%60marimo%3D%3D0.24.0%60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20then%20run%20%60marimo%20edit%20four_loop_vacuum.py%60.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20IBPFamily%20%3D%20hep.IBPFamily%0A%20%20%20%20return%20(IBPFamily%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20**1%20%C2%B7%20Define%20the%20family.**%20Complete%20eight%20propagators%20to%20ten%20scalar%20products%3B%20keep%20the%20two%20auxiliary%20powers%20zero.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IBPFamily%2C%20S%2C%20hep)%3A%0A%20%20%20%20d%2C%20M%2C%20W%20%3D%20S(%22d%22%2C%20%22M%22%2C%20%22W%22)%0A%20%20%20%20k%20%3D%20S(%22k1%22%2C%20%22k2%22%2C%20%22k3%22%2C%20%22k4%22)%0A%20%20%20%20kin%20%3D%20hep.Kinematics(d%2C%20momenta%3Dk)%0A%20%20%20%20momenta%20%3D%20%5B*k%2C%20*%5Bk%5Bj%5D%20-%20k%5B(j%20%2B%201)%20%25%204%5D%20for%20j%20in%20range(4)%5D%5D%0A%20%20%20%20family%20%3D%20hep.IntegralFamily(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k%2C%20%5B%5D%2C%20%5Bkin.scalar_product(q%2C%20q)%20-%20M%20for%20q%20in%20momenta%5D%2C%20kinematics%3Dkin%0A%20%20%20%20).complete()%0A%20%20%20%20ibp%20%3D%20IBPFamily(family%2C%20name%3D%22W%22)%0A%20%20%20%20assert%20family.is_independent%20and%20ibp.denominator_count%20%3D%3D%2010%0A%20%20%20%20return%20(ibp%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20**2%20%C2%B7%20Find%20a%20rule.**%20Search%20with%20symbolic%20physical%20powers%20and%20fixed%20auxiliary%20powers.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ibp%2C%20perf_counter)%3A%0A%20%20%20%20_start%20%3D%20perf_counter()%0A%20%20%20%20solution%20%3D%20ibp.solve_parametric(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5BTrue%5D%20*%208%20%2B%20%5BFalse%5D%20*%202%2C%20fixed%3D%5BNone%5D%20*%208%20%2B%20%5B0%5D%20*%202%2C%20max_depth%3D0%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20rule%20%3D%20solution.rules%5B0%5D%0A%20%20%20%20search_seconds%20%3D%20perf_counter()%20-%20_start%0A%20%20%20%20return%20rule%2C%20search_seconds%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Replacement%2C%20S%2C%20ibp%2C%20mo%2C%20rule%2C%20search_seconds)%3A%0A%20%20%20%20_names%20%3D%20%5BReplacement(a%2C%20S(f%22a%7Bi%7D%22))%20for%20i%2C%20a%20in%20enumerate(ibp.index_symbols%2C%201)%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20term_table(terms)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%20%3D%20%5B%22%7C%20Powers%20(a%E2%82%81%E2%80%A6a%E2%82%88)%20%7C%20Coefficient%20%7C%22%2C%20%22%7C%20%3A---%20%7C%20%3A---%20%7C%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20powers%2C%20coefficient%20in%20terms%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20indices%20%3D%20%22%2C%20%22.join(str(p)%20for%20p%20in%20powers%5B%3A8%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20latex%20%3D%20coefficient.to_latex().strip(%22%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows.append(f%22%7C%20%60%7Bindices%7D%60%20%7C%20%24%7Blatex%7D%24%20%7C%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.md(%22%5Cn%22.join(rows))%0A%0A%20%20%20%20_symbolic%20%3D%20%5B(%5Bp.replace_multiple(_names)%20for%20p%20in%20powers%5D%2C%20c.replace_multiple(_names))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20powers%2C%20c%20in%20rule.terms%5D%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**%7Blen(rule.terms)%7D%20terms**%20%C2%B7%20rule%20found%20in%20**%7Bsearch_seconds%3A.3f%7D%20s**.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22Valid%20for%20%24a_i%5Cgeq1%24%2C%20%24a_8%3E1%24%2C%20%24M%5Cne0%24.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Inspect%20the%20symbolic%20recurrence%20W(a)%20%3D%20%CE%A3%20c%20%C2%B7%20W(powers)%22%3A%20term_table(_symbolic)%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(term_table%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20index%20%3D%20mo.ui.number(start%3D1%2C%20stop%3D1000000%2C%20value%3D1%2C%20step%3D1%2C%20label%3D%22Common%20power%20n%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22**3%20%C2%B7%20Apply%20the%20rule.**%20Evaluate%20%24W(n%2Cn%2Cn%2Cn%2Cn%2Cn%2Cn%2Cn%2B1)%24%3B%20edit%20%24n%24%20to%20try%20higher%20indices.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20index%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(index%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(index%2C%20rule)%3A%0A%20%20%20%20powers%20%3D%20%5Bint(index.value)%5D%20*%207%20%2B%20%5Bint(index.value)%20%2B%201%2C%200%2C%200%5D%0A%20%20%20%20terms%20%3D%20rule.apply(powers)%0A%20%20%20%20return%20powers%2C%20terms%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20powers%2C%20term_table%2C%20terms)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**W(%22%20%2B%20%22%2C%20%22.join(map(str%2C%20powers%5B%3A8%5D))%20%2B%20%22)%20%3D**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20term_table(terms)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22One%20exact%20recurrence%20step.%20Zero%20powers%20pinch%20lines%3B%20the%20remaining%20integrals%20are%20explicit%2C%20not%20evaluated%20master%20integrals.%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**4%20%C2%B7%20Reduce%20to%20masters.**%20For%20the%20four-loop%20wheel%2C%20use%20HEPkit's%20specialized%0A%20%20%20%20**Vakint%20%2F%20FMFT**%20backend.%20It%20eliminates%20the%20remaining%20topologies%20and%20retains%0A%20%20%20%20the%20named%20FMFT%20masters%2C%20rather%20than%20stopping%20after%20a%20fixed%20number%20of%20rewrites.%0A%0A%20%20%20%20We%20benchmark%20%24W(1%2C1%2C1%2C1%2C1%2C1%2C1%2Cr)%24%20for%20%24r%3D2%2C3%2C4%24.%0A%20%20%20%20Here%20%24d%3D4-2%5Cepsilon%24%3B%20the%20API%20returns%20Laurent-expanded%20**coefficients%20through%0A%20%20%20%20%24%5Cepsilon%5E0%24**%2C%20in%20the%20%60FMFTandMATAD%60%20normalization.%20Masters%20stay%20unexpanded.%0A%20%20%20%20This%20is%20a%20master%20decomposition%2C%20not%20a%20numerical%20value%20or%20an%20all-orders-in-%24d%24%20identity.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(S%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20import%20shutil%0A%20%20%20%20from%20symbolica.community.hepkit.vakint%20import%20Vakint%2C%20VakintEvaluationMethod%0A%0A%20%20%20%20mo.stop(shutil.which(%22form%22)%20is%20None%2C%20mo.md(%22**FORM%20is%20required**%20for%20this%20four-loop%20master%20reduction.%20Install%20FORM%20and%20rerun%20this%20section.%20The%20two-loop%20example%20below%20uses%20the%20native%20IBP%20solver%20directly.%22))%0A%20%20%20%20epsilon%20%3D%20S(%22epsilon%22)%0A%20%20%20%20vacuum_engine%20%3D%20Vakint(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20evaluation_order%3D%5BVakintEvaluationMethod.new_fmft_method(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20expand_masters%3DFalse%2C%20susbstitute_masters%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_symbol%3Depsilon%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20number_of_terms_in_epsilon_expansion%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20integral_normalization_factor%3D%22FMFTandMATAD%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(vacuum_engine%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(E)%3A%0A%20%20%20%20def%20vacuum_integral(last_power%2C%20base_power%3D1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Exactly%20the%20eight%20edges%20and%20momentum%20routing%20drawn%20above.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B(1%2C%202%2C%20%22k(1)%22)%2C%20(2%2C%203%2C%20%22k(2)%22)%2C%20(3%2C%204%2C%20%22k(3)%22)%2C%20(4%2C%201%2C%20%22k(4)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C%205%2C%20%22k(1)-k(2)%22)%2C%20(3%2C%205%2C%20%22k(2)-k(3)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(4%2C%205%2C%20%22k(3)-k(4)%22)%2C%20(1%2C%205%2C%20%22k(4)-k(1)%22)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20propagators%20%3D%20%22*%22.join(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22prop(%7Bi%7D%2Cedge(%7Bu%7D%2C%7Bv%7D)%2C%7Bq%7D%2CM%2C%7Blast_power%20if%20i%20%3D%3D%208%20else%20base_power%7D)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20(u%2C%20v%2C%20q)%20in%20enumerate(edges%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20E(%22topo(%22%20%2B%20propagators%20%2B%20%22)%22%2C%20default_namespace%3D%22vakint%22)%0A%0A%20%20%20%20return%20(vacuum_integral%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(perf_counter%2C%20vacuum_engine%2C%20vacuum_integral)%3A%0A%20%20%20%20master_results%2C%20master_benchmarks%20%3D%20%7B%7D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_r%20in%20(2%2C%203%2C%204)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_start%20%3D%20perf_counter()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20master_results%5B_r%5D%20%3D%20vacuum_engine.evaluate(vacuum_integral(_r))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20master_benchmarks.append(%7B%22Last%20power%20r%22%3A%20_r%2C%20%22Seconds%22%3A%20round(perf_counter()%20-%20_start%2C%203)%7D)%0A%20%20%20%20return%20master_benchmarks%2C%20master_results%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20master_power%20%3D%20mo.ui.dropdown(%7B%22r%20%3D%202%22%3A%202%2C%20%22r%20%3D%203%22%3A%203%2C%20%22r%20%3D%204%22%3A%204%7D%2C%20value%3D%22r%20%3D%203%22%2C%20label%3D%22Reduced%20wheel%22)%0A%20%20%20%20master_power%0A%20%20%20%20return%20(master_power%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(E%2C%20S%2C%20master_benchmarks%2C%20master_power%2C%20master_results%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20import%20re%0A%0A%20%20%20%20_answer%20%3D%20master_results%5Bmaster_power.value%5D.expand()%0A%20%20%20%20_names%20%3D%20sorted(set(re.findall(r%22%5CbPR%5Cd%2B%5Ba-z%5D*%5Cb%22%2C%20str(_answer))))%0A%20%20%20%20_masters%20%3D%20%5BS(%22vakint%3A%3A%22%20%2B%20name)%20for%20name%20in%20_names%5D%0A%20%20%20%20_coefficients%20%3D%20%5B_answer.coefficient(master).together()%20for%20master%20in%20_masters%5D%0A%20%20%20%20%23%20Nothing%20remains%20except%20the%20named%20master%20integrals%20and%20their%20coefficients.%0A%20%20%20%20assert%20(_answer%20-%20sum((c%20*%20m%20for%20c%2C%20m%20in%20zip(_coefficients%2C%20_masters))%2C%20E(%220%22))).together()%20%3D%3D%200%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%22%7C%20Master%20%7C%20Coefficient%20%7C%22%2C%20%22%7C%20%3A---%20%7C%20%3A---%20%7C%22%5D%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_c%20in%20zip(_names%2C%20_coefficients)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(f%22%7C%20%60%7B_name%7D%60%20%7C%20%24%7B_c.to_latex().strip('%24')%7D%24%20%7C%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**%7Blen(_masters)%7D%20FMFT%20master%7B's'%20if%20len(_masters)%20!%3D%201%20else%20''%7D%3B%20no%20unreduced%20topology%20integrals.**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_answer.to_latex())%20if%20len(_masters)%20%3D%3D%201%20else%20mo.accordion(%7B%22Master%20coefficients%22%3A%20mo.md(%22%5Cn%22.join(_rows))%7D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Full-reduction%20timings%22%3A%20mo.ui.table(master_benchmarks%2C%20selection%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pagination%3DFalse%2C%20show_column_summaries%3DFalse%2C%20show_search%3DFalse%2C%20show_download%3DFalse)%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20full_stress_button%20%3D%20mo.ui.run_button(label%3D%22Reduce%20W(2%2C2%2C2%2C2%2C2%2C2%2C2%2C3)%20to%20masters%22)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Larger%20full%20reduction%20%C2%B7%20several%20minutes%22%3A%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22All%20eight%20propagator%20powers%20are%20raised.%20This%20runs%20the%20complete%20FMFT%20reduction%3B%20it%20can%20take%20several%20minutes.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_stress_button%2C%0A%20%20%20%20%5D)%7D)%0A%20%20%20%20return%20(full_stress_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(full_stress_button%2C%20mo%2C%20perf_counter%2C%20vacuum_engine%2C%20vacuum_integral)%3A%0A%20%20%20%20import%20re%20as%20_re%0A%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20full_stress_button.value)%0A%20%20%20%20_start%20%3D%20perf_counter()%0A%20%20%20%20full_stress_result%20%3D%20vacuum_engine.evaluate(vacuum_integral(3%2C%20base_power%3D2))%0A%20%20%20%20_masters%20%3D%20sorted(set(_re.findall(r%22%5CbPR%5Cd%2B%5Ba-z%5D*%5Cb%22%2C%20str(full_stress_result))))%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**%7Blen(_masters)%7D%20master%20symbols**%20%C2%B7%20%7Bperf_counter()%20-%20_start%3A.2f%7D%20s.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Coefficients%20are%20Laurent-expanded%20with%20the%20same%20settings%20as%20above.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Complete%20master%20expression%22%3A%20mo.md(full_stress_result.to_latex())%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(E%2C%20Replacement%2C%20ibp%2C%20mo%2C%20rule)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Large%20powers%20are%20cheap%20to%20substitute%20into%20a%20known%20rule.%20This%20check%20is%0A%20%20%20%20%23%20deliberately%20separate%20from%20the%20complete%20master%20reductions%20above.%0A%20%20%20%20for%20_n%20in%20(2%2C%204%2C%208%2C%2016%2C%2064%2C%201024%2C%201000000)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_input%20%3D%20%5B_n%5D%20*%207%20%2B%20%5B_n%20%2B%201%2C%200%2C%200%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_subs%20%3D%20%5BReplacement(a%2C%20E(str(n)))%20for%20a%2C%20n%20in%20zip(ibp.index_symbols%2C%20_input)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_expected%20%3D%20%7Btuple(int(p.replace_multiple(_subs))%20for%20p%20in%20row)%3A%20c.replace_multiple(_subs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20row%2C%20c%20in%20rule.terms%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_actual%20%3D%20%7Btuple(p)%3A%20c%20for%20p%2C%20c%20in%20rule.apply(_input)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assert%20_actual.keys()%20%3D%3D%20_expected.keys()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assert%20all((_actual%5Bp%5D%20-%20_expected%5Bp%5D).together()%20%3D%3D%200%20for%20p%20in%20_actual)%0A%20%20%20%20rule_checks_passed%20%3D%20True%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Large-index%20substitution%20checks%22%3A%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22All%20seven%20exact%20substitution%20checks%20passed%2C%20up%20to%20**n%20%3D%201%2C000%2C000**.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22These%20test%20one%20rule%20application%20only%3B%20they%20are%20not%20full%20master%20reductions%20at%20those%20indices.%22%0A%20%20%20%20)%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20From%20a%20Feynman%20diagram%20to%20three%20masters%0A%0A%20%20%20%20A%20two-loop%20**four-point%20%24%5Cphi%5E4%24%20double%20bubble**%3A%20two%20incoming%20and%20two%20outgoing%0A%20%20%20%20legs%2C%20with%20two%20bubbles%20in%20series.%20The%20scalar%20integral%20depends%20only%20on%0A%20%20%20%20%24P%3Dp_1%2Bp_2%24%20and%20%24s%3DP%5E2%24.%20Its%20two%20independent%20loop%20integrations%20factorize.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(S%2C%20hep)%3A%0A%20%20%20%20scalar_model%20%3D%20hep.Model.phi4()%0A%20%20%20%20four_point%20%3D%20hep.FeynmanDiagram.from_dot(scalar_model%2C%20%22%22%22digraph%20double_bubble%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ext%20%5Bstyle%3Dinvis%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ext%20-%3E%20a%20%5Bparticle%3D%22phi%22%5D%3B%20ext%20-%3E%20a%20%5Bparticle%3D%22phi%22%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%20-%3E%20b%20%5Bparticle%3D%22phi%22%2C%20lmb_id%3D0%5D%3B%20a%20-%3E%20b%20%5Bparticle%3D%22phi%22%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20b%20-%3E%20c%20%5Bparticle%3D%22phi%22%2C%20lmb_id%3D1%5D%3B%20b%20-%3E%20c%20%5Bparticle%3D%22phi%22%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c%20-%3E%20ext%20%5Bparticle%3D%22phi%22%5D%3B%20c%20-%3E%20ext%20%5Bparticle%3D%22phi%22%5D%3B%0A%20%20%20%20%7D%22%22%22)%0A%20%20%20%20four_point.validate()%0A%20%20%20%20D%2C%20s%2C%20mass2%2C%20P%20%3D%20S(%22D%22%2C%20%22s%22%2C%20%22M%22%2C%20%22P%22)%0A%20%20%20%20diagram_family%20%3D%20four_point.integral_family(kinematics%3Dhep.Kinematics(D))%0A%20%20%20%20assert%20four_point.loop_count%20%3D%3D%202%20and%20len(four_point.external_edges)%20%3D%3D%204%0A%20%20%20%20return%20D%2C%20P%2C%20diagram_family%2C%20four_point%2C%20mass2%2C%20s%2C%20scalar_model%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(diagram_family%2C%20four_point%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(four_point.render()).style(%7B%22max-width%22%3A%20%22520px%22%2C%20%22margin%22%3A%20%220%20auto%22%7D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**FeynmanDiagram%20%E2%86%92%20IntegralFamily**%20%C2%B7%20%7Blen(four_point.internal_edges)%7D%20physical%20propagators%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%2B%20%7Blen(diagram_family.denominators)%20-%20len(four_point.internal_edges)%7D%20auxiliary%20coordinates.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20auxiliary%20powers%20are%20zero%20for%20this%20scalar%20example.%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(D%2C%20P%2C%20Replacement%2C%20diagram_family%2C%20hep%2C%20mass2%2C%20s%2C%20scalar_model)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Use%20the%20actual%20graph%20denominators.%20Replace%20p0%20by%20P-p1%20to%20expose%20the%0A%20%20%20%20%23%20only%20external%20combination%3B%20p1%20cancels%2C%20so%20no%20exceptional%20kinematics%0A%20%20%20%20%23%20or%20on-shell%20assumptions%20are%20being%20imposed.%0A%20%20%20%20_p0%2C%20_p1%2C%20_p2%20%3D%20diagram_family.external_momenta%0A%20%20%20%20_loops%20%3D%20diagram_family.loop_momenta%0A%20%20%20%20_kin%20%3D%20hep.Kinematics(D%2C%20momenta%3D%5B*_loops%2C%20_p0%2C%20_p1%2C%20_p2%2C%20P%5D)%0A%20%20%20%20_substitutions%20%3D%20%5BReplacement(_kin.scalar_product(_p0%2C%20x)%2C%20_kin.scalar_product(P%20-%20_p1%2C%20x))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20x%20in%20%5B_p1%2C%20_p2%2C%20*_loops%5D%5D%0A%20%20%20%20_substitutions.append(Replacement(_kin.scalar_product(_p0%2C%20_p0)%2C%20_kin.scalar_product(P%20-%20_p1%2C%20P%20-%20_p1)))%0A%20%20%20%20_kin%20%3D%20_kin.with_scalar_product(P%2C%20P%2C%20s)%0A%20%20%20%20physical_denominators%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_kin.apply(q.replace_multiple(_substitutions).expand()).replace(scalar_model.particle(%22phi%22).mass**2%2C%20mass2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20q%20in%20diagram_family.denominators%5B%3A4%5D%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%23%20Prove%20that%20the%20four%20graph-derived%20denominators%20are%20two%20identical%20bubbles.%0A%20%20%20%20_expected%20%3D%20%5Bq%20for%20k%20in%20_loops%20for%20q%20in%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_kin.scalar_product(k%2C%20k)%20-%20mass2%2C%20_kin.scalar_product(k%20-%20P%2C%20k%20-%20P)%20-%20mass2)%5D%0A%20%20%20%20assert%20all((a%20-%20b).expand()%20%3D%3D%200%20for%20a%2C%20b%20in%20zip(physical_denominators%2C%20_expected))%0A%20%20%20%20bubble_family%20%3D%20hep.IntegralFamily(%5B_loops%5B0%5D%5D%2C%20%5BP%5D%2C%20physical_denominators%5B%3A2%5D%2C%20kinematics%3D_kin)%0A%20%20%20%20return%20(bubble_family%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Reduce%20both%20loop%20factors.**%20Extract%20the%20graph's%20identical%20bubble%20families%2C%0A%20%20%20%20then%20use%20finite-target%20Laporta%20elimination%20with%20back-substitution.%0A%20%20%20%20Equal%20masses%20identify%20the%20two%20tadpoles%20by%20a%20loop-momentum%20shift.%0A%0A%20%20%20%20%24B(s)%3DB(1%2C1)%24%2C%20%24T%3DB(1%2C0)%3DB(0%2C1)%24%2C%20so%20the%20two-loop%20product%20basis%20is%0A%20%20%20%20**%24%5C%7BB(s)%5E2%2C%5C%3BB(s)T%2C%5C%3BT%5E2%5C%7D%24**.%20Keep%20generic%20%24M%5Cne0%24%2C%20%24s%5Cne0%2C4M%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IBPFamily%2C%20S%2C%20bubble_family)%3A%0A%20%20%20%20bubble_ibp%20%3D%20IBPFamily(bubble_family%2C%20name%3D%22B%22)%0A%20%20%20%20bubble_solution%20%3D%20bubble_ibp.reduce_laporta(%5B%5B2%2C%201%5D%2C%20%5B2%2C%202%5D%2C%20%5B3%2C%201%5D%5D%2C%20max_depth%3D2)%0A%20%20%20%20assert%20%7Btuple(p)%20for%20p%20in%20bubble_solution.residuals%7D%20%3D%3D%20%7B(1%2C%201)%2C%20(1%2C%200)%2C%20(0%2C%201)%7D%0A%20%20%20%20B%2C%20T%20%3D%20S(%22B%22%2C%20%22T%22)%0A%20%20%20%20bubble_reduction%20%3D%20sum(c%20*%20(B%20if%20p%20%3D%3D%20%5B1%2C%201%5D%20else%20T)%20for%20p%2C%20c%20in%20bubble_solution.reduce(%5B2%2C%201%5D))%0A%20%20%20%20vertex_reduction%20%3D%20(bubble_reduction**2).expand()%0A%20%20%20%20return%20B%2C%20T%2C%20bubble_reduction%2C%20vertex_reduction%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(B%2C%20D%2C%20T%2C%20bubble_reduction%2C%20mass2%2C%20mo%2C%20s%2C%20vertex_reduction)%3A%0A%20%20%20%20_cB%20%3D%20bubble_reduction.coefficient(B).together()%0A%20%20%20%20_cT%20%3D%20bubble_reduction.coefficient(T).together()%0A%20%20%20%20assert%20(_cB%20-%20(3%20-%20D)%20%2F%20(s%20-%204%20*%20mass2)).together()%20%3D%3D%200%0A%20%20%20%20assert%20(_cT%20-%20(D%20-%202)%20%2F%20(2%20*%20mass2%20*%20(s%20-%204%20*%20mass2))).together()%20%3D%3D%200%0A%20%20%20%20_basis%20%3D%20%5BB**2%2C%20B*T%2C%20T**2%5D%0A%20%20%20%20_coefficients%20%3D%20%5B(_cB**2).together()%2C%20(2*_cB*_cT).together()%2C%20(_cT**2).together()%5D%0A%20%20%20%20assert%20(vertex_reduction%20-%20sum(c*m%20for%20c%2C%20m%20in%20zip(_coefficients%2C%20_basis))).together()%20%3D%3D%200%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%22%7C%20Master%20product%20%7C%20Exact%20coefficient%20%7C%22%2C%20%22%7C%20%3A---%20%7C%20%3A---%20%7C%22%5D%0A%20%20%20%20for%20_m%2C%20_c%20in%20zip(_basis%2C%20_coefficients)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(f%22%7C%20%24%7B_m.to_latex().strip('%24')%7D%24%20%7C%20%24%7B_c.to_latex().strip('%24')%7D%24%20%7C%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22**%24J(2%2C1%2C2%2C1)%3DB(2%2C1)%5E2%24%20%E2%86%92%20three%20master%20products.**%20No%20unresolved%20higher-index%20integrals%20remain.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%5Cn%22.join(_rows))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22One-loop%20reduction%20used%20in%20each%20factor%22%3A%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%24%24B(2%2C1)%3D%22%20%2B%20bubble_reduction.together().to_latex().strip(%22%24%22)%20%2B%20%22%24%24%22)%7D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22This%20reduction%20is%20exact%20in%20symbolic%20dimension%20D.%20The%20scalar%20integral%20is%20shown%20without%20vertex%20couplings%20or%20the%20graph%20symmetry%20factor.%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_citations)%3A%0A%20%20%20%20citations%20%3D%20get_citations()%0A%20%20%20%20return%20(citations%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(citations%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%20Citations%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22References%20used%20in%20this%20computation%22%3A%20mo.vstack(%5Bmo.md(c.to_markdown())%20for%20c%20in%20citations%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22BibTeX%22%3A%20mo.md(%22%60%60%60bibtex%5Cn%22%20%2B%20%22%5Cn%5Cn%22.join(c.bibtex%20for%20c%20in%20citations)%20%2B%20%22%5Cn%60%60%60%22)%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A