Two-loop kite: exact integration and transports

Two-loop kite: exact integration and transports · Symbolica Gallery

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Two-loop%20kite%3A%20exact%20integration%20and%20transports%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20A%20two-loop%20kite%3A%20exact%20integration%20and%20transports%0A%0A%20%20%20%20Give%20two%20propagators%20on%20one%20outer%20arm%20of%20the%20kite%20**equal%20or%20different%20masses**%2C%0A%20%20%20%20keeping%20the%20central%20line%20and%20the%20other%20arm%20massless.%20The%20integral%20depends%0A%20%20%20%20on%20**three%20scales**%20in%20massive%20mode%3A%20%24Q%5E2%3D-p%5E2%3E0%24%2C%20%24m_1%5E2%3E0%24%20and%20%24m_2%5E2%3E0%24.%0A%20%20%20%20We%20compare%20%24f%3DM%5E2I_E%24%20at%20%24%5Crho%3DQ%5E2%2FM%5E2%24%2C%20using%20a%20fixed%20reference%20scale%0A%20%20%20%20%24M%5E2%3D1%24.%20In%20massive%20mode%2C%20%24m_1%5E2%3DM%5E2%24%20and%20%24r%3Dm_2%5E2%2FM%5E2%24%3B%20the%20same%0A%20%20%20%20reference%20scale%20remains%20meaningful%20when%20both%20masses%20vanish.%0A%0A%20%20%20%20We%20generate%20the%20graph%20and%20its%20integral%20family%20with%20HEPkit%2C%20calculate%20%24f%24%0A%20%20%20%20exactly%20using%20**HyperInt's%20hyperlogarithmic%20method**%2C%20then%20compare%20it%20with%0A%20%20%20%20an%20independent%20**AMFlow%20starting%20value%20and%20DiffExp%20transport**.%20Try%20equal%0A%20%20%20%20or%20unequal%20masses%2C%20or%20**set%20both%20masses%20to%20zero**%20with%20the%20toggle%20below.%0A%20%20%20%20Change%20the%20momentum%20slider%20to%20evaluate%20the%20integral%20at%20different%0A%20%20%20%20spacelike%20virtualities.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20from%20symbolica.community.hepkit%20import%20integration%0A%20%20%20%20from%20symbolica.community.hep%20import%20integration%20as%20numerical_flow%0A%0A%20%20%20%20return%20integration%2C%20mo%2C%20numerical_flow%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20from%20collections%20import%20Counter%0A%20%20%20%20from%20fractions%20import%20Fraction%0A%20%20%20%20from%20functools%20import%20lru_cache%0A%20%20%20%20from%20math%20import%20factorial%2C%20log%2C%20log1p%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20quad%0A%20%20%20%20from%20symbolica%20import%20E%2C%20S%2C%20get_citations%0A%20%20%20%20from%20symbolica.community%20import%20hepkit%20as%20hep%0A%0A%20%20%20%20def%20is_kite(candidate)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pairs%20%3D%20%5Btuple(sorted((e.source%2C%20e.target)))%20for%20e%20in%20candidate.internal_edges%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20candidate.loop_count%20%3D%3D%202%20and%20len(pairs)%20%3D%3D%20len(set(pairs))%20%3D%3D%205%0A%0A%20%20%20%20def%20hyperlogarithmic_value(expression%2C%20tolerance)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%40lru_cache(maxsize%3D4096)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20g(word%2C%20endpoint)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20word%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20all(letter%20%3D%3D%200%20for%20letter%20in%20word)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20log(endpoint)%20**%20len(word)%20%2F%20factorial(len(word))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20all(letter%20%3D%3D%20word%5B0%5D%20for%20letter%20in%20word)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20log1p(-endpoint%20%2F%20word%5B0%5D)%20**%20len(word)%20%2F%20factorial(len(word))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20all(letter%20%3D%3D%200%20for%20letter%20in%20word%5B%3A-1%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E(str(endpoint%20%2F%20word%5B-1%5D)).polylog(len(word)).evaluate(%7B%7D).real%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20quad(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lambda%20t%3A%20g(word%5B1%3A%5D%2C%20t)%20%2F%20(t%20-%20word%5B0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20endpoint%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsabs%3Dtolerance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsrel%3Dtolerance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20limit%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20constants%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20atom%20in%20expression.get_all_indeterminates(False)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%20%3D%20atom.get_name().rsplit(%22%3A%3A%22%2C%201)%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20name%20%3D%3D%20%22Hlog%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20endpoint%2C%20*word%20%3D%20%5Bfloat(arg.evaluate(%7B%7D).real)%20for%20arg%20in%20atom%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20any(0%20%3C%20letter%20%3C%20endpoint%20for%20letter%20in%20word)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22This%20helper%20requires%20a%20pole-free%20real%20integration%20path.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20constants%5Batom%5D%20%3D%20g(tuple(word)%2C%20endpoint)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20name%20%3D%3D%20%22MZV%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20indices%20%3D%20list(atom)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(indices)%20!%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22This%20example%20only%20requires%20depth-one%20zeta%20values.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20constants%5Batom%5D%20%3D%20indices%5B0%5D.zeta().evaluate(%7B%7D).real%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20name%20%3D%3D%20%22Log2%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20constants%5Batom%5D%20%3D%20E(%222%22).log().evaluate(%7B%7D).real%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22Cannot%20evaluate%20the%20remaining%20constant%20%7Batom%7D.%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(expression.evaluate(constants).real)%0A%0A%20%20%20%20def%20exact_value(expression)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coarse%20%3D%20hyperlogarithmic_value(expression%2C%202e-9)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fine%20%3D%20hyperlogarithmic_value(expression%2C%202e-12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Refinement%20is%20an%20error%20estimate%2C%20rather%20than%20a%20rigorous%20enclosure.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20uncertainty%20%3D%20max(abs(fine%20-%20coarse)%2C%202e-11%20*%20max(1.0%2C%20abs(fine)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fine%2C%20uncertainty%0A%0A%20%20%20%20cache_root%20%3D%20Path.home()%20%2F%20%22.cache%2Fsymbolica%2Fmassive-kite%2Ftwo-mass-arm-midpoint-v5%22%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Counter%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20S%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cache_root%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20get_citations%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is_kite%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Define%20the%20physical%20integral%0A%0A%20%20%20%20We%20use%20normalized%20Euclidean%20loop%20measures%20and%20strip%20coupling%20constants%20and%0A%20%20%20%20the%20diagram%20symmetry%20factor%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I_E(Q%5E2%2Cm_1%5E2%2Cm_2%5E2)%3D%5Cint%5Cfrac%7Bd%5E4k_E%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%5Cfrac%7Bd%5E4%5Cell_E%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Bk_E%5E2%2Bm_1%5E2%5D(k_E-p_E)%5E2%5B%5Cell_E%5E2%2Bm_2%5E2%5D%0A%20%20%20%20(%5Cell_E-p_E)%5E2(k_E-%5Cell_E)%5E2%7D%2C%5Cqquad%20p_E%5E2%3DQ%5E2.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20All%20five%20powers%20are%20one.%20This%20integral%20is%20UV%20and%20IR%20convergent%20for%0A%20%20%20%20%24Q%5E2%2Cm_1%5E2%2Cm_2%5E2%3E0%24%2C%20so%20the%20parameter%20integral%20can%20be%20evaluated%20at%20%24D%3D4%24.%0A%20%20%20%20Choose%20a%20fixed%20reference%20scale%20**%24M%5E2%3D1%24**%20and%20write%20%24%5Crho%3DQ%5E2%2FM%5E2%24.%0A%20%20%20%20In%20the%20massive%20mode%2C%20%24m_1%5E2%3DM%5E2%24%20and%20%24m_2%5E2%3DrM%5E2%24.%20In%20the%20massless%20mode%2C%0A%20%20%20%20both%20masses%20vanish%20while%20%24M%24%20stays%20fixed.%20The%20displayed%20dimensionless%0A%20%20%20%20quantity%20is%20always%20%24f%3DM%5E2I_E%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Generate%20and%20display%20the%20graph%0A%0A%20%20%20%20The%20built-in%20%24%5Cphi%5E3%24%20model%20generates%20the%20kite%20topology.%20The%20two%20highlighted%0A%20%20%20%20edges%20carry%20%24m_1%24%20and%20%24m_2%24%20in%20the%20integral%20below%3B%20the%20other%20three%20lines%0A%20%20%20%20carry%20zero%20mass.%20Their%20momenta%20and%20mass%20assignment%20are%20listed%20explicitly%0A%20%20%20%20when%20we%20construct%20the%20family.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20massless%20%3D%20mo.ui.checkbox(value%3DFalse%2C%20label%3D%22Set%20both%20masses%20to%20zero%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Choose%20to%20set%20the%20masses%20to%20zero%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20massless%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(massless%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Counter%2C%20hep%2C%20is_kite)%3A%0A%20%20%20%20model%20%3D%20hep.Model.phi3()%0A%20%20%20%20generated%20%3D%20model.process(%5B%22phi%22%5D%2C%20%5B%22phi%22%5D).generate_diagrams(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20loops%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20threads%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max_vertices%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20allow_self_loops%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20maximum_bridges%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20progress%3DNone%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20(diagram%2C)%20%3D%20%5Bcandidate%20for%20candidate%20in%20generated%20if%20is_kite(candidate)%5D%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20sorted(diagram.internal_edges%2C%20key%3Dlambda%20edge%3A%20edge.id)%0A%20%20%20%20degrees%20%3D%20Counter(vertex%20for%20edge%20in%20edges%20for%20vertex%20in%20(edge.source%2C%20edge.target))%0A%20%20%20%20(central_slot%2C)%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20edge%20in%20enumerate(edges)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20degrees%5Bedge.source%5D%20%3D%3D%20degrees%5Bedge.target%5D%20%3D%3D%203%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_massive_vertex%20%3D%20min(edges%5Bcentral_slot%5D.source%2C%20edges%5Bcentral_slot%5D.target)%0A%20%20%20%20massive_slots%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20edge%20in%20enumerate(edges)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20i%20!%3D%20central_slot%20and%20_massive_vertex%20in%20(edge.source%2C%20edge.target)%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20return%20central_slot%2C%20diagram%2C%20edges%2C%20massive_slots%2C%20model%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(diagram%2C%20edges%2C%20hep%2C%20massive_slots%2C%20massless%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20The%20interactive%20viewer%20moves%20SVG%20nodes%20and%20styles%20its%20document.%20Keep%0A%20%20%20%20%23%20it%20in%20a%20separate%20frame%20so%20reactive%20mass%20changes%20cannot%20disrupt%20marimo.%0A%20%20%20%20mo.output.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.iframe(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20diagram.to_html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20momenta%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20highlight%3D(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20massless.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20diagram.subgraph(edges%3D%5Bedges%5Bi%5D.id%20for%20i%20in%20massive_slots%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20config%3Dhep.RenderSettings(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20show_particle%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Massless%20kite%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20massless.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22Two%20massive%20propagators%20on%20one%20arm%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Derive%20the%20family%20and%20Symanzik%20polynomials%0A%0A%20%20%20%20HEPkit%20supplies%20the%20loop%20routing%20and%20physical%20propagator%20order.%20We%20keep%0A%20%20%20%20that%20routing%2C%20assign%20squared%20masses%20%241%24%20and%20%24r%24%20to%20the%20highlighted%20arm%0A%20%20%20%20(or%20zero%20to%20every%20line%20in%20massless%20mode)%2C%0A%20%20%20%20and%20set%20the%20other%20masses%20to%20zero.%20The%20propagators%20span%20all%20scalar%20products%2C%20so%20no%0A%20%20%20%20extra%20irreducible%20numerator%20slots%20are%20needed.%0A%0A%20%20%20%20With%20%24p%5E2%3D-%5Crho%24%20and%20%24D%3D4%24%2C%20the%20normalized%20parameter%20formula%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24f(%5Crho%2Cr)%3D%5Cint_%7Bx_i%5Cge0%7Dd%5E5x%5C%2C%5Cdelta(1-%5Csum_i%20x_i)%5Cfrac%7B1%7D%7BU%20F%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20massive%20mode%20%24F%3D%5Crho%5C%2C%5Cwidehat%20F_0%2B(x_a%2Br%20x_b)U%24%2C%20where%20%24x_a%2Cx_b%24%20label%0A%20%20%20%20the%20massive%20lines.%20Setting%20both%20masses%20to%20zero%20gives%20%24F%3D%5Crho%5Cwidehat%20F_0%24.%0A%20%20%20%20The%20gamma%20prefactor%20is%20%24%5CGamma(1)%3D1%24%20in%20either%20mode.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20S%2C%20diagram%2C%20edges%2C%20hep%2C%20massive_slots%2C%20massless%2C%20mo%2C%20model)%3A%0A%20%20%20%20rho%2C%20r%20%3D%20S(%22massive_kite%3A%3Arho%22%2C%20%22massive_kite%3A%3Ar%22)%0A%20%20%20%20p%20%3D%20hep.Kinematics.external_momentum()(0)%0A%20%20%20%20kinematics%20%3D%20hep.Kinematics(E(%224%22)%2C%20momenta%3D%5Bp%5D).with_scalar_product(p%2C%20p%2C%20-rho)%0A%20%20%20%20graph_family%20%3D%20diagram.integral_family(kinematics%3Dkinematics)%0A%20%20%20%20model_mass%20%3D%20model.particle(%22phi%22).mass%0A%20%20%20%20denominators%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20denominator.replace(model_mass%2C%20E(%220%22))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20massless.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20E(%221%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%20massive_slots%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%20massive_slots%5B1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20denominator%20in%20enumerate(graph_family.denominators)%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20family%20%3D%20hep.IntegralFamily(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20graph_family.loop_momenta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20graph_family.external_momenta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20denominators%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kinematics%3Dkinematics%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20x%20%3D%20S(*%5Bf%22massive_kite%3A%3Ax%7Bi%7D%22%20for%20i%20in%20range(1%2C%206)%5D)%0A%20%20%20%20U%2C%20F%20%3D%20family.symanzik(x)%0A%20%20%20%20mo.output.append(family)%0A%20%20%20%20_routing%20%3D%20diagram.loop_momentum_basis.edge_signatures%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%22%7C%20Parameter%20%7C%20Edge%20%7C%20Momentum%20%7C%20Mass%C2%B2%20%2F%20M%C2%B2%20%7C%22%2C%20%22%7C---%7C---%3A%7C---%7C---%3A%7C%22%5D%0A%20%20%20%20_rows%20%2B%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%24%7Bparameter%7D%24%20%7C%20%7Bedge.id%7D%20%7C%20%24%7B_routing%5Bedge.id%5D.format_momentum()%7D%24%20%7C%20%7B'0'%20if%20massless.value%20else%20'1'%20if%20i%20%3D%3D%20massive_slots%5B0%5D%20else%20'r'%20if%20i%20%3D%3D%20massive_slots%5B1%5D%20else%20'0'%7D%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20(parameter%2C%20edge)%20in%20enumerate(zip(x%2C%20edges))%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20mo.output.append(mo.md(%22%5Cn%22.join(_rows)))%0A%20%20%20%20mo.output.append(mo.vstack(%5Bmo.md(%22**First%20Symanzik%20polynomial%20%24U%24%3A**%22)%2C%20U%5D))%0A%20%20%20%20mo.output.append(mo.vstack(%5Bmo.md(%22**Second%20Symanzik%20polynomial%20%24F%24%3A**%22)%2C%20F%5D))%0A%20%20%20%20return%20F%2C%20U%2C%20p%2C%20r%2C%20rho%2C%20x%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exact%20integration%20with%20HyperInt's%20method%0A%0A%20%20%20%20Fix%20the%20first%20massive-line%20parameter%20to%20one%20by%20the%20Cheng%E2%80%93Wu%20theorem.%20The%20other%0A%20%20%20%20parameters%20range%20over%20%24%5B0%2C%5Cinfty)%24%20in%20the%20supplied%20integration%20order.%0A%20%20%20%20HEPkit's%20%60integration.integrate%60%20uses%20Hyperbolica's%20implementation%20of%0A%20%20%20%20hyperlogarithmic%20integration%3B%20it%20does%20not%20call%20the%20Maple%20HyperInt%20package.%0A%20%20%20%20%60Expression.integrate(x)%60%20instead%20computes%20an%20antiderivative.%0A%0A%20%20%20%20This%20mass%20assignment%20is%20linearly%20reducible%20in%20the%20chosen%20parameters.%0A%20%20%20%20The%20exact%20answer%20consists%20of%20weight-three%20hyperlogarithms%20and%20zeta%20values%2C%0A%20%20%20%20**without%20algebraic%20letters**.%20The%20expression%20below%20retains%20its%20full%0A%20%20%20%20dependence%20on%20%24%5Crho%24%20and%20%24r%24.%20We%20also%20integrate%20the%20equal-mass%20case%20directly%2C%0A%20%20%20%20so%20no%20limiting%20procedure%20is%20needed%20when%20%24r%3D1%24.%0A%20%20%20%20With%20the%20massless%20toggle%2C%20both%20mass%20terms%20are%20removed%20before%20integration.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20F%2C%20U%2C%20central_slot%2C%20integration%2C%20massive_slots%2C%20massless%2C%20mo%2C%20r%2C%20x)%3A%0A%20%20%20%20parameter_integrand%20%3D%20(1%20%2F%20(U%20*%20F)).replace(x%5Bmassive_slots%5B0%5D%5D%2C%20E(%221%22))%0A%20%20%20%20_massless_outer%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range(5)%20if%20i%20not%20in%20%5Bcentral_slot%2C%20*massive_slots%5D%5D%0A%20%20%20%20variables%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%5Bcentral_slot%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%5Bx%5Bi%5D%20for%20i%20in%20_massless_outer%5B%3A%3A-1%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%5Bmassive_slots%5B1%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_options%20%3D%20integration.IntegrationOptions(check_divergences%3DTrue)%0A%20%20%20%20exact_expression%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20integration.integrate(parameter_integrand%2C%20variables%2C%20_options)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.expand()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.cancel()%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20equal_mass_expression%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact_expression%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20massless.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20integration.integrate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20parameter_integrand.replace(r%2C%20E(%221%22))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20variables%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_options%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.expand()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.cancel()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.output.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Massless%20expression%20for%20f%E2%82%80(%CF%81)%22%3A%20exact_expression%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20massless.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Exact%20expression%20for%20f(%CF%81%2C%20r)%22%3A%20exact_expression%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Equal-mass%20expression%20for%20f(%CF%81%2C%201)%22%3A%20equal_mass_expression%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20equal_mass_expression%2C%20exact_expression%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(massless%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20destination%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Spacelike%20virtuality%20%CF%81%20%3D%20%E2%88%92p%C2%B2%2FM%C2%B2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mass_ratio%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Equal%20masses%3A%20r%20%3D%201%22%3A%20%221%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Unequal%20masses%3A%20r%20%3D%202%22%3A%20%222%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Unequal%20masses%3A%20r%20%3D%201%2F2%22%3A%20%221%2F2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Equal%20masses%3A%20r%20%3D%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Mass%20ratio%20r%20%3D%20m%E2%82%82%C2%B2%2Fm%E2%82%81%C2%B2%20(massive%20mode)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20disabled%3Dmassless.value%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Choose%20the%20masses%2C%20then%20vary%20the%20momentum%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmass_ratio%2C%20destination%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20destination%2C%20mass_ratio%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20E%2C%0A%20%20%20%20Fraction%2C%0A%20%20%20%20destination%2C%0A%20%20%20%20equal_mass_expression%2C%0A%20%20%20%20exact_expression%2C%0A%20%20%20%20exact_value%2C%0A%20%20%20%20mass_ratio%2C%0A%20%20%20%20massless%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20r%2C%0A%20%20%20%20rho%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20comparison_points%20%3D%20sorted(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Fraction(%222%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Fraction(%225%2F2%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Fraction(%223%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Fraction(str(destination.value))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_expression%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20equal_mass_expression%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20mass_ratio.value%20%3D%3D%20%221%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20exact_expression.replace(r%2C%20E(mass_ratio.value))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20exact_results%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20point%3A%20exact_value(selected_expression.replace(rho%2C%20E(str(point))))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20point%20in%20comparison_points%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_value%2C%20_uncertainty%20%3D%20exact_results%5BFraction(str(destination.value))%5D%0A%20%20%20%20_mass_description%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22both%20masses%20zero%22%20if%20massless.value%20else%20rf%22%24r%3D%7Bmass_ratio.value%7D%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20At%20%24%5Crho%3D%7Bdestination.value%7D%24%20with%20%7B_mass_description%7D%2C%20**%24f%3D%7B_value%3A.10f%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20The%20expression%20is%20exact%3B%20this%20decimal%20evaluates%20its%20remaining%20finite%0A%20%20%20%20hyperlogarithms%20using%20their%20iterated-integral%20definition%2C%0A%20%20%20%20%24G(a%2C%5Cmathbf%20b%3Bz)%3D%5Cint_0%5Ez%20dt%5C%2CG(%5Cmathbf%20b%3Bt)%2F(t-a)%24.%0A%20%20%20%20Symbolica%20evaluates%20the%20classical%20polylogarithms%20and%20zeta%20values.%0A%20%20%20%20Tightening%20the%20quadrature%20tolerance%20gives%20an%20estimated%20absolute%20uncertainty%0A%20%20%20%20of%20%7B_uncertainty%3A.1e%7D%3B%20this%20is%20not%20a%20rigorous%20error%20bound.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20comparison_points%2C%20exact_results%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20AMFlow%3A%20compute%20an%20independent%20starting%20value%0A%0A%20%20%20%20We%20now%20use%20the%20**same%20selected%20family**%20in%20%24D%3D4-2%5Cepsilon%24.%20AMFlow%20introduces%0A%20%20%20%20an%20auxiliary%20mass%2C%20computes%20a%20simpler%20boundary%2C%20and%20flows%20back%20to%20the%0A%20%20%20%20selected%20physical%20masses%2C%20including%20zero%20in%20massless%20mode.%20No%20exact%20hyperlogarithmic%20values%0A%20%20%20%20are%20supplied%20as%20boundary%20data.%20The%20seed%20is%20at%20%24p%5E2%2FM%5E2%3D-2.5%24%2C%20in%20the%0A%20%20%20%20middle%20of%20the%20comparison%20interval.%0A%0A%20%20%20%20IBP%20coefficients%20can%20contain%20poles%20in%20%24%5Cepsilon%24%20even%20though%20this%20target%0A%20%20%20%20is%20finite.%20%60required_master_range%60%20determines%20how%20far%20to%20expand%20the%0A%20%20%20%20masters%20before%20extracting%20the%20target's%20%24%5Cepsilon%5E0%24%20coefficient.%0A%0A%20%20%20%20The%20numerical%20loop%20measure%20is%20%24d%5EDk%2F(i%5Cpi%5E%7BD%2F2%7D)%24%20per%20loop%2C%20with%20propagators%0A%20%20%20%20%24q%5E2-m%5E2%2Bi0%24.%20Wick%20rotation%20contributes%20%24(-1)%5E5%24%3A%20we%20negate%20the%20numerical%0A%20%20%20%20target%20to%20compare%20with%20the%20positive%20Euclidean%20integral%20defined%20above.%0A%0A%20%20%20%20**Compute%20the%20seed%20once**%2C%20then%20change%20the%20slider.%20The%20equal-mass%20case%20is%0A%20%20%20%20the%20starting%20example%2C%20and%20its%20seed%20is%20computed%20with%20one%20worker.%0A%20%20%20%20Opening%20the%20notebook%20does%20not%20start%20the%20calculation.%0A%20%20%20%20Changing%20the%20masses%20requires%20a%20new%20seed%3B%20changing%20only%20the%20momentum%0A%20%20%20%20reuses%20the%20seed%20for%20the%20chosen%20masses.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20run_amflow%20%3D%20mo.ui.run_button(label%3D%22Compute%20AMFlow%20seed%20at%20p%C2%B2%2FM%C2%B2%20%3D%20%E2%88%922.5%22)%0A%20%20%20%20mo.output.append(run_amflow)%0A%20%20%20%20return%20(run_amflow%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20E%2C%0A%20%20%20%20S%2C%0A%20%20%20%20cache_root%2C%0A%20%20%20%20diagram%2C%0A%20%20%20%20hep%2C%0A%20%20%20%20mass_ratio%2C%0A%20%20%20%20massive_slots%2C%0A%20%20%20%20massless%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20model%2C%0A%20%20%20%20numerical_flow%2C%0A%20%20%20%20p%2C%0A%20%20%20%20rho%2C%0A%20%20%20%20run_amflow%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20not%20run_amflow.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Press%20**Compute%20AMFlow%20seed**%20to%20start%20the%20independent%20comparison.%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20D%2C%20epsilon%20%3D%20S(%22massive_kite_flow%3A%3AD%22%2C%20%22massive_kite_flow%3A%3Aepsilon%22)%0A%20%20%20%20flow_kinematics%20%3D%20hep.Kinematics(D%2C%20momenta%3D%5Bp%5D).with_scalar_product(p%2C%20p%2C%20-rho)%0A%20%20%20%20_flow_graph_family%20%3D%20diagram.integral_family(kinematics%3Dflow_kinematics)%0A%20%20%20%20_model_mass%20%3D%20model.particle(%22phi%22).mass%0A%20%20%20%20_flow_denominators%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20denominator.replace(_model_mass%2C%20E(%220%22))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20massless.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20E(%221%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%20massive_slots%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20E(mass_ratio.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%20massive_slots%5B1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20E(%220%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20denominator%20in%20enumerate(_flow_graph_family.denominators)%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20flow_family%20%3D%20hep.IntegralFamily(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_flow_graph_family.loop_momenta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_flow_graph_family.external_momenta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_flow_denominators%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kinematics%3Dflow_kinematics%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mass_cache%20%3D%20cache_root%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22massless%22%20if%20massless.value%20else%20%22r-%22%20%2B%20mass_ratio.value.replace(%22%2F%22%2C%20%22_%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20evaluator%20%3D%20numerical_flow.IntegralEvaluator(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3Dnumerical_flow.EvaluationOptions(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20digits%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guard_digits%3D24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20series_order%3D70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20workers%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mass_mode%3D%22branch%22%20if%20massless.value%20else%20%22mass%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sampled_reduction%3Dnot%20massless.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cache_directory%3Dstr(_mass_cache%20%2F%20%22reductions%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sample_cache_directory%3Dstr(_mass_cache%20%2F%20%22samples%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20with%20mo.status.spinner(title%3D%22Preparing%20the%20selected%20family%20and%20AMFlow%20boundary%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20prepared_flow%20%3D%20evaluator.prepare(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20flow_family%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%5B1%5D%20*%205%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Brho%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20branch_domain%3Df%22Euclidean%20rho%20%3E%201%3B%20p%20squared%20%3D%20-rho%3B%20squared%20masses%20%3D%20%7B'0%2C%200'%20if%20massless.value%20else%20'1%2C%20'%20%2B%20mass_ratio.value%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed_point%20%3D%20%7Brho%3A%20E(%225%2F2%22)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_seed_leading%2C%20_seed_last%20%3D%20prepared_flow.required_master_range(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20seed_point%2C%200%2C%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20seed_directory%20%3D%20_mass_cache%20%2F%20%22seed%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20flow_cache%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20numerical_flow.BoundaryCache.load(seed_directory)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(seed_directory%20%2F%20%22physical-boundaries.bin%22).exists()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20numerical_flow.BoundaryCache()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(flow_cache)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20seed%20%3D%20prepared_flow.transport(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20flow_cache%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20seed_point%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_seed_leading%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_seed_last%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20admit_straight_path%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20seed%20%3D%20prepared_flow.generate_boundary(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20flow_cache%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20seed_point%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20last%3D_seed_last%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20extra_digits%3D5%20if%20massless.value%20else%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20flow_cache.save(seed_directory)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(seed_target%2C)%20%3D%20prepared_flow.project_targets(seed%2C%200%2C%200%2C%20digits%3D8)%0A%20%20%20%20destination_caches%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20seed_value%20%3D%20-seed_target.coefficients%5B0%5D%0A%20%20%20%20_seed_label%20%3D%20%22f_0(2.5)%22%20if%20massless.value%20else%20f%22f(2.5%2C%7Bmass_ratio.value%7D)%22%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20**AMFlow%20seed%3A%20%24%7B_seed_label%7D%3D%7Bfloat(seed_value.real)%3A.10f%7D%24**%0A%0A%20%20%20%20Estimated%20absolute%20uncertainty%3A%20%7Bfloat(seed_target.absolute_errors%5B0%5D)%3A.2e%7D.%0A%20%20%20%20The%20family%20has%20%7Blen(prepared_flow.basis)%7D%20masters%2C%20retained%20through%0A%20%20%20%20%24%5Cepsilon%5E%7B_seed_last%7D%24%20for%20this%20finite%20target.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20destination_caches%2C%20flow_cache%2C%20prepared_flow%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20DiffExp%3A%20transport%20at%20fixed%20mass%2C%20then%20compare%0A%0A%20%20%20%20HEPkit%20derives%20the%20coupled%20differential%20equations%20in%20%24%5Crho%24%20from%20the%20selected%0A%20%20%20%20family.%20DiffExp%20solves%20them%20by%20local%20series%20expansions%2C%20starting%20from%20the%0A%20%20%20%20AMFlow%20seed.%20The%20selected%20masses%20remain%20fixed%3B%20all%20paths%20stay%20spacelike.%0A%0A%20%20%20%20The%20table%20compares%20the%20independently%20computed%20finite%20terms.%20The%20exact%0A%20%20%20%20result%20is%20used%20only%20on%20the%20comparison%20side%2C%20never%20to%20seed%20or%20guide%20transport.%0A%20%20%20%20Every%20destination%20starts%20from%20the%20original%20seed%20so%20changing%20the%20slider%20does%0A%20%20%20%20not%20accumulate%20uncertainty%20along%20previously%20visited%20destinations.%0A%0A%20%20%20%20The%20default%20comparison%20uses%20%242%5Cle%5Crho%5Cle3%24%20and%20eight-digit%20target%20values.%0A%20%20%20%20To%20transport%20farther%2C%20increase%20the%20AMFlow%20seed%20precision%20before%20extending%0A%20%20%20%20the%20slider%3B%20the%20exact%20formula%20itself%20is%20not%20restricted%20to%20this%20interval.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20E%2C%0A%20%20%20%20comparison_points%2C%0A%20%20%20%20destination_caches%2C%0A%20%20%20%20exact_results%2C%0A%20%20%20%20flow_cache%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20numerical_flow%2C%0A%20%20%20%20prepared_flow%2C%0A%20%20%20%20rho%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20flow_results%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20with%20mo.status.spinner(title%3D%22DiffExp%20transport%20at%20the%20selected%20masses%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20point%20in%20comparison_points%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coordinates%20%3D%20%7Brho%3A%20E(str(point))%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_leading%2C%20_last%20%3D%20prepared_flow.required_master_range(coordinates%2C%200%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20point%20not%20in%20destination_caches%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20point_cache%20%3D%20numerical_flow.BoundaryCache()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20point_cache.extend(flow_cache)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20destination_caches%5Bpoint%5D%20%3D%20point_cache%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transported%20%3D%20prepared_flow.transport(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20destination_caches%5Bpoint%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coordinates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_leading%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_last%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20admit_straight_path%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(target%2C)%20%3D%20prepared_flow.project_targets(transported%2C%200%2C%200%2C%20digits%3D8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20value%20%3D%20-target.coefficients%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20uncertainty%20%3D%20float(target.absolute_errors%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20flow_results.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(point%2C%20float(value.real)%2C%20float(value.imag)%2C%20uncertainty)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C%20%CF%81%20%7C%20Hyperlogarithms%20%7C%20AMFlow%20%2F%20DiffExp%20%7C%20Absolute%20difference%20%7C%20Estimated%20uncertainties%3A%20exact%20%2F%20flow%20%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C---%3A%7C---%3A%7C---%3A%7C---%3A%7C---%3A%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20agreement%20%3D%20True%0A%20%20%20%20for%20point%2C%20value%2C%20imaginary%2C%20uncertainty%20in%20flow_results%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact%2C%20exact_uncertainty%20%3D%20exact_results%5Bpoint%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20difference%20%3D%20abs(value%20-%20exact)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20agreement%20%26%3D%20max(difference%2C%20abs(imaginary))%20%3C%3D%205%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20uncertainty%20%2B%20exact_uncertainty%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%7Bpoint%7D%20%7C%20%7Bexact%3A.10f%7D%20%7C%20%7Bvalue%3A.10f%7D%20%7C%20%7Bdifference%3A.2e%7D%20%7C%20%7Bexact_uncertainty%3A.1e%7D%20%2F%20%7Buncertainty%3A.1e%7D%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.output.append(mo.md(%22%5Cn%22.join(_rows)))%0A%20%20%20%20mo.output.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20independent%20determinations%20agree%20within%20five%20times%20their%20combined%20estimated%20uncertainties%2C%20and%20the%20imaginary%20parts%20are%20consistent%20with%20zero.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20agreement%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22At%20least%20one%20point%20needs%20more%20precision%3A%20inspect%20the%20differences%20and%20estimated%20uncertainties%20above.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22success%22%20if%20agreement%20else%20%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(flow_results%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(exact_results%2C%20flow_results%2C%20massless%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20_plt%0A%0A%20%20%20%20_points%20%3D%20%5Bfloat(row%5B0%5D)%20for%20row%20in%20flow_results%5D%0A%20%20%20%20_flow%20%3D%20%5Brow%5B1%5D%20for%20row%20in%20flow_results%5D%0A%20%20%20%20_exact%20%3D%20%5Bexact_results%5Brow%5B0%5D%5D%5B0%5D%20for%20row%20in%20flow_results%5D%0A%20%20%20%20_uncertainties%20%3D%20%5Brow%5B3%5D%20for%20row%20in%20flow_results%5D%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axes%20%3D%20_plt.subplots(figsize%3D(6%2C%203.8)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_axes.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_points%2C%20_exact%2C%20%22-%22%2C%20label%3D%22Analytic%20hyperlogarithmic%20result%22%2C%20color%3D%22%230e7490%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes.errorbar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_points%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_flow%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yerr%3D_uncertainties%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fmt%3D%22o%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capsize%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22AMFlow%20%2F%20DiffExp%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23b45309%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22%CF%81%20%3D%20Q%C2%B2%20%2F%20M%C2%B2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22f%20%3D%20M%C2%B2%20I_E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Massless%20kite%22%20if%20massless.value%20else%20%22Momentum%20dependence%20with%20two%20masses%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes.legend(fontsize%3D8)%0A%20%20%20%20mo.output.append(_figure)%0A%20%20%20%20_plt.close(_figure)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(get_citations%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(get_citations())%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A