Three-loop massive vacuum reduction

Three-loop massive vacuum reduction · Symbolica Gallery

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Three-loop%20massive%20vacuum%20reduction%22%2C%0A)%0A%0Awith%20app.setup(hide_code%3DTrue)%3A%0A%20%20%20%20from%20time%20import%20perf_counter%0A%20%20%20%20from%20typing%20import%20TYPE_CHECKING%2C%20Sequence%2C%20TypedDict%2C%20Union%0A%0A%20%20%20%20from%20symbolica%20import%20Expression%2C%20get_citations%0A%20%20%20%20if%20TYPE_CHECKING%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20symbolica.community.hepkit.rustred%20import%20CandidateArtifact%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20tomllib%0A%20%20%20%20except%20ModuleNotFoundError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20tomli%20as%20tomllib%0A%0A%20%20%20%20class%20IntegralKey(TypedDict)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%3A%20list%5Bint%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20symbolic%3A%20list%5Bbool%5D%0A%0A%20%20%20%20class%20FixedPower(TypedDict)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3A%20int%0A%0A%20%20%20%20class%20RuleCase(TypedDict%2C%20total%3DFalse)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fixed%3A%20list%5BFixedPower%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20affine_equation_count%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20affine_zero_equations%3A%20list%5Bint%5D%0A%0A%20%20%20%20class%20RuleTerm(TypedDict)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficient_id%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20integral%3A%20IntegralKey%0A%0A%20%20%20%20class%20Rule(TypedDict%2C%20total%3DFalse)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ordinal%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20target%3A%20IntegralKey%0A%20%20%20%20%20%20%20%20case%3A%20RuleCase%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rhs%3A%20list%5BRuleTerm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20excluded_all_zero_conjunctions%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%0A%20%20%20%20class%20RuleExpressions(TypedDict)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20target%3A%20Expression%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rhs%3A%20Expression%0A%20%20%20%20%20%20%20%20affine%3A%20list%5BExpression%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20excluded%3A%20list%5Blist%5BExpression%5D%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20rule_expressions(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20artifact%3A%20%22CandidateArtifact%22%2C%20rule%3A%20Rule%2C%20integral%3A%20Expression%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameter_bindings%3A%20Sequence%5Btuple%5BExpression%2C%20Expression%5D%5D%20%3D%20()%2C%0A%20%20%20%20)%20-%3E%20RuleExpressions%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Decode%20only%20the%20selected%20rule%2C%20binding%20its%20indices%20and%20dimension.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20symbolica%20import%20E%2C%20S%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20indices%20%3D%20%5BS(f%22n_%7Baxis%7D%22)%20for%20axis%20in%20range(len(rule%5B%22target%22%5D%5B%22values%22%5D))%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bindings%20%3D%20%5B(S(f%22rustred%3A%3An%7Baxis%7D%22)%2C%20index)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%2C%20index%20in%20enumerate(indices)%5D%20%2B%20list(parameter_bindings)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficients%3A%20dict%5Bint%2C%20Expression%5D%20%3D%20%7B%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20coefficient(cid%3A%20int)%20-%3E%20Expression%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cid%20not%20in%20coefficients%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20detail%20%3D%20artifact.coefficient(cid%2C%20max_output_bytes%3D65536)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20value%20%3D%20(E(detail%5B%22numerator%22%5D%2C%20default_namespace%3D%22rustred%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20E(detail%5B%22denominator%22%5D%2C%20default_namespace%3D%22rustred%22))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20source%2C%20display%20in%20bindings%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20value%20%3D%20value.replace(source%2C%20display)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coefficients%5Bcid%5D%20%3D%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20coefficients%5Bcid%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20key_expression(key%3A%20IntegralKey)%20-%3E%20Expression%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20integral(*(indices%5Baxis%5D%20%2B%20value%20if%20symbolic%20else%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%2C%20(value%2C%20symbolic)%20in%20enumerate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zip(key%5B%22values%22%5D%2C%20key%5B%22symbolic%22%5D))))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22target%22%3A%20key_expression(rule%5B%22target%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22rhs%22%3A%20sum((coefficient(term%5B%22coefficient_id%22%5D)%20*%20key_expression(term%5B%22integral%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20term%20in%20rule%5B%22rhs%22%5D)%2C%20E(%220%22))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22affine%22%3A%20%5Bcoefficient(cid)%20for%20cid%20in%20rule%5B%22case%22%5D%5B%22affine_zero_equations%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22excluded%22%3A%20%5B%5Bcoefficient(cid)%20for%20cid%20in%20branch%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20branch%20in%20rule%5B%22excluded_all_zero_conjunctions%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20integral_notation(key%3A%20Union%5BIntegralKey%2C%20tuple%5Bint%2C%20...%5D%5D)%20-%3E%20str%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Format%20native%20integer%20structure%20without%20parsing%20coefficient%20text.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20isinstance(key%2C%20dict)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20values%2C%20symbolic%20%3D%20key%5B%22values%22%5D%2C%20key%5B%22symbolic%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(values)%20!%3D%20len(symbolic)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Integral%20flags%20and%20values%20have%20different%20arities%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20values%2C%20symbolic%20%3D%20key%2C%20%5BFalse%5D%20*%20len(key)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20powers%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%2C%20(value%2C%20variable)%20in%20enumerate(zip(values%2C%20symbolic))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20type(value)%20is%20not%20int%20or%20type(variable)%20is%20not%20bool%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Expected%20exact%20native%20integer%20powers%20and%20boolean%20flags%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20variable%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20powers.append(str(value))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20suffix%20%3D%20f%22%20%2B%20%7Bvalue%7D%22%20if%20value%20%3E%200%20else%20f%22%20-%20%7B-value%7D%22%20if%20value%20%3C%200%20else%20%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20powers.append(f%22n_%7Baxis%7D%7Bsuffix%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22I(%22%20%2B%20%22%2C%20%22.join(powers)%20%2B%20%22)%22%0A%0A%20%20%20%20def%20rule_fixed_conditions(rule%3A%20Rule)%20-%3E%20list%5BFixedPower%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Only%20conditions%20not%20already%20displayed%20as%20literal%20target%20powers.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20target%20%3D%20rule%5B%22target%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5Bitem%20for%20item%20in%20rule%5B%22case%22%5D%5B%22fixed%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20target%5B%22symbolic%22%5D%5Bitem%5B%22axis%22%5D%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20or%20target%5B%22values%22%5D%5Bitem%5B%22axis%22%5D%5D%20!%3D%20item%5B%22value%22%5D%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20rule_label(rule%3A%20Rule)%20-%3E%20str%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Show%20the%20target%20and%20only%20the%20case%20conditions%20it%20does%20not%20encode.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20case%20%3D%20rule%5B%22case%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parts%20%3D%20%5Bf%22n_%7Bitem%5B'axis'%5D%7D%20%3D%20%7Bitem%5B'value'%5D%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20item%20in%20rule_fixed_conditions(rule)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20affine%20%3D%20case.get(%22affine_equation_count%22%2C%20len(case.get(%22affine_zero_equations%22%2C%20%5B%5D)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20affine%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20parts.append(f%22%7Baffine%7D%20affine%20%7B'condition'%20if%20affine%20%3D%3D%201%20else%20'conditions'%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%20%3D%20f%22%7Brule%5B'ordinal'%5D%7D%20%C2%B7%20%7Bintegral_notation(rule%5B'target'%5D)%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20label%20%2B%20(%22%20%C2%B7%20Case%3A%20%22%20%2B%20%22%3B%20%22.join(parts)%20if%20parts%20else%20%22%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20from%20symbolica%20import%20E%2C%20S%0A%20%20%20%20from%20symbolica.community.hepkit%20import%20FeynmanDiagram%2C%20IntegralFamily%2C%20Kinematics%2C%20Model%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20symbolica.community.hepkit.ibp%20import%20IBPFamily%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20symbolica.community.hepkit.rustred%20import%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20certify_candidates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20family_candidates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20inspect_closing_artifact%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reduce_with_closing_artifact%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20except%20ImportError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.stop(True%2C%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Run%20this%20notebook%20locally.**%20The%20gallery's%20WebAssembly%20build%20does%20not%0A%20%20%20%20%20%20%20%20include%20the%20IBP%20and%20RustRed%20APIs%20used%20here.%20Download%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bnotebook%5D(three_loop_reduction.py)%2C%20install%20a%20native%20Symbolica%20community%0A%20%20%20%20%20%20%20%20build%20with%20RustRed%20support%20and%20%60marimo%3D%3D0.25.1%60%2C%20then%20run%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%60marimo%20edit%20three_loop_reduction.py%60.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22))%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FeynmanDiagram%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20IBPFamily%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20IntegralFamily%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Kinematics%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Model%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20S%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20certify_candidates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20family_candidates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20inspect_closing_artifact%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduce_with_closing_artifact%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Three-loop%20massive%20vacuum%20reduction%0A%0A%20%20%20%20We%20compute%20the%20complete%20parametric%20reduction%20of%20the%20three-loop%0A%20%20%20%20equal-mass%20**Mercedes%20graph**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Route%20the%20graph%0A%0A%20%20%20%20With%20%24M%3Dm%5E2%24%20and%20%24D_i%3Dq_i%5E2-M%24%2C%20define%0A%20%20%20%20%24I_M(n)%3D%5Cint_%7Bk_1%2Ck_2%2Ck_3%7D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7B6%7DD_i%5E%7B-n_i%7D%24%20in%20a%20common%0A%20%20%20%20dimensionally%20regulated%20measure.%20Positive%20powers%20are%20denominators%2C%0A%20%20%20%20zero%20removes%20an%20edge%2C%20and%20negative%20powers%20insert%20numerator%20factors.%0A%20%20%20%20Set%20%24M%3D1%24%20for%20the%20IBP%20calculation%20and%20restore%20it%20by%20homogeneity%20below.%0A%20%20%20%20All%20six%20scalar%20products%20are%20covered%3A%20no%20auxiliary%20propagator%20is%20needed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20FeynmanDiagram%2C%20IBPFamily%2C%20IntegralFamily%2C%20Kinematics%2C%20Model%2C%20S)%3A%0A%20%20%20%20dimension%2C%20mass_squared%2C%20integral%20%3D%20S(%22d%22%2C%20%22M%22%2C%20%22I%22)%0A%20%20%20%20scalar_model%20%3D%20Model.phi_3_4()%0A%20%20%20%20dot_input%20%3D%20%22%22%22%0A%20%20%20%20digraph%20Mercedes%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%2F%20Three%20loop-basis%20chords%3B%20edge%20IDs%20fix%20the%20denominator%20order.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20B%20-%3E%20A%20%5Bid%3D0%2C%20particle%3D%22phi%22%2C%20lmb_id%3D0%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20-%3E%20C%20%5Bid%3D1%2C%20particle%3D%22phi%22%2C%20lmb_id%3D1%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C%20-%3E%20B%20%5Bid%3D2%2C%20particle%3D%22phi%22%2C%20lmb_id%3D2%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D%20-%3E%20B%20%5Bid%3D3%2C%20particle%3D%22phi%22%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20-%3E%20D%20%5Bid%3D4%2C%20particle%3D%22phi%22%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C%20-%3E%20D%20%5Bid%3D5%2C%20particle%3D%22phi%22%5D%3B%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20diagram%20%3D%20FeynmanDiagram.from_dot(scalar_model%2C%20dot_input)%0A%20%20%20%20routed%20%3D%20diagram.integral_family(kinematics%3DKinematics(dimension))%0A%20%20%20%20model_mass%20%3D%20scalar_model.particle(%22phi%22).mass%0A%20%20%20%20family%20%3D%20IntegralFamily(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20routed.loop_momenta%2C%20routed.external_momenta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bden.replace(model_mass%2C%20E(%221%22))%20for%20den%20in%20routed.denominators%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kinematics%3Drouted.kinematics%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Validate%20the%20routed%20family%20with%20the%20IBP%20backend.%0A%20%20%20%20assert%20IBPFamily(family%2C%20name%3D%22Mercedes%22).denominator_count%20%3D%3D%206%0A%20%20%20%20%23%20The%20source%20API%20preserves%20d%3B%20explicitly%20map%20its%20native%20symbol%20for%20display.%0A%20%20%20%20parameter_bindings%20%3D%20((S(%22rustred%3A%3Ad%22)%2C%20dimension)%2C)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bdiagram%2C%20family%5D)%0A%20%20%20%20return%20integral%2C%20mass_squared%2C%20parameter_bindings%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23%20The%20closure%20API%20takes%20a%20source%20family%20in%20the%20graph's%20denominator%20order.%0A%20%20%20%20generation_source%20%3D%20%22%22%22%0A%20%20%20%20schema%20%3D%20%22rustred.project.toml.v1%22%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20same%20ordered%20family%20as%20the%20graph%2C%20with%20common%20mass%20set%20to%20one.%0A%20%20%20%20%23%20Family%20input%3A%20no%20reduction%20rules%20or%20hints.%0A%20%20%20%20%5Bfamily%5D%0A%20%20%20%20name%20%3D%20%22rustred_three_loop_unit_mass_vacuum_k6_v1%22%0A%20%20%20%20loop_momenta%20%3D%20%5B%22k1%22%2C%20%22k2%22%2C%20%22k3%22%5D%0A%20%20%20%20external_momenta%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20dimension%20%3D%20%22d%22%0A%0A%20%20%20%20%5B%5Bfamily.denominators%5D%5D%0A%20%20%20%20id%20%3D%20%22D1%22%0A%20%20%20%20expression%20%3D%20%22k1%5E2-1%22%0A%0A%20%20%20%20%5B%5Bfamily.denominators%5D%5D%0A%20%20%20%20id%20%3D%20%22D2%22%0A%20%20%20%20expression%20%3D%20%22k2%5E2-1%22%0A%0A%20%20%20%20%5B%5Bfamily.denominators%5D%5D%0A%20%20%20%20id%20%3D%20%22D3%22%0A%20%20%20%20expression%20%3D%20%22k3%5E2-1%22%0A%0A%20%20%20%20%5B%5Bfamily.denominators%5D%5D%0A%20%20%20%20id%20%3D%20%22D4%22%0A%20%20%20%20expression%20%3D%20%22(k1-k3)%5E2-1%22%0A%0A%20%20%20%20%5B%5Bfamily.denominators%5D%5D%0A%20%20%20%20id%20%3D%20%22D5%22%0A%20%20%20%20expression%20%3D%20%22(k1-k2)%5E2-1%22%0A%0A%20%20%20%20%5B%5Bfamily.denominators%5D%5D%0A%20%20%20%20id%20%3D%20%22D6%22%0A%20%20%20%20expression%20%3D%20%22(k2-k3)%5E2-1%22%0A%0A%20%20%20%20%5Btarget%5D%0A%20%20%20%20powers%20%3D%20%5B1%2C%201%2C%201%2C%201%2C%201%2C%201%5D%0A%20%20%20%20numerator%20%3D%20%221%22%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20(generation_source%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Generate%20and%20certify%20the%20rules%0A%0A%20%20%20%20These%20calls%20generate%20the%20rules%20from%20the%20family%2C%20then%20verify%20coverage%20and%0A%20%20%20%20termination%20before%20reduction.%20They%20run%20on%20one%20core%20in%20both%20Python%20and%20WASM.%0A%20%20%20%20Changing%20a%20sector%2C%20rule%20or%20target%20below%20reuses%20this%20result.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(family_candidates%2C%20generation_source)%3A%0A%20%20%20%20_started%20%3D%20perf_counter()%0A%20%20%20%20candidates%20%3D%20family_candidates(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20generation_source%2C%20input_format%3D%22toml%22%2C%20n_cores%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact_backend%3D%22sparse%22%2C%20numerical_depth%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20candidate_artifact%20%3D%20candidates.artifact()%0A%20%20%20%20generation_seconds%20%3D%20perf_counter()%20-%20_started%0A%20%20%20%20return%20candidate_artifact%2C%20candidates%2C%20generation_seconds%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(candidate_artifact%2C%20generation_seconds)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.stat(candidate_artifact.metadata()%5B%22total_rules%22%5D%2C%20label%3D%22Generated%20rules%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.stat(f%22%7Bgeneration_seconds%3A.2f%7D%20s%22%2C%20label%3D%22Generation%20time%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%2C%20widths%3D%22equal%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(candidates%2C%20certify_candidates%2C%20inspect_closing_artifact)%3A%0A%20%20%20%20certificate%20%3D%20certify_candidates(candidates.bundle)%0A%20%20%20%20closing_artifact%20%3D%20certificate.artifact%0A%20%20%20%20inspected%20%3D%20inspect_closing_artifact(closing_artifact)%0A%20%20%20%20inspection%20%3D%20tomllib.loads(inspected.to_toml())%0A%20%20%20%20master_powers%20%3D%20%7Btuple(item%5B%22powers%22%5D)%20for%20item%20in%20inspection%5B%22artifact%22%5D%5B%22masters%22%5D%7D%0A%20%20%20%20assert%20certificate.status%20%3D%3D%20%22generated-durable%22%20and%20inspected.status%20%3D%3D%20%22inspected%22%0A%20%20%20%20assert%20inspection%5B%22artifact%22%5D%5B%22arity%22%5D%20%3D%3D%206%20and%20master_powers%0A%20%20%20%20reductions%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20return%20closing_artifact%2C%20inspection%2C%20master_powers%2C%20reductions%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(candidate_artifact)%3A%0A%20%20%20%20_sectors%20%3D%20candidate_artifact.sectors(start%3D0%2C%20limit%3D64)%5B%22items%22%5D%0A%20%20%20%20_options%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B''.join('1'%20if%20b%20else%20'0'%20for%20b%20in%20row%5B'sector'%5D)%7D%20%C2%B7%20%7Brow%5B'total_rules'%5D%7D%20rules%22%3A%20row%5B%22ordinal%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20row%20in%20_sectors%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_default%20%3D%20next(row%5B%22ordinal%22%5D%20for%20row%20in%20_sectors%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20all(row%5B%22sector%22%5D)%20and%20row%5B%22total_rules%22%5D)%0A%20%20%20%20sector_choice%20%3D%20mo.ui.dropdown(options%3D_options%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dnext(label%20for%20label%2C%20ordinal%20in%20_options.items()%20if%20ordinal%20%3D%3D%20_default)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sector%22%2C%20allow_select_none%3DFalse%2C%20searchable%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203.%20Inspect%20a%20generated%20recurrence%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Select%20a%20sector%2C%20then%20a%20rule.%20The%20label%20shows%20the%20target%20and%20any%20extra%0A%20%20%20%20%20%20%20%20case%20conditions.%20Only%20the%20selected%20rule's%20coefficients%20are%20decoded.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sector_choice%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(sector_choice%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(candidate_artifact%2C%20sector_choice)%3A%0A%20%20%20%20_sector%20%3D%20int(sector_choice.value)%0A%20%20%20%20_page%20%3D%20candidate_artifact.rules(_sector%2C%20start%3D0%2C%20limit%3D1000)%0A%20%20%20%20_summaries%20%3D%20list(_page%5B%22items%22%5D)%0A%20%20%20%20for%20_start%20in%20range(1000%2C%20_page%5B%22total%22%5D%2C%201000)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_summaries.extend(candidate_artifact.rules(_sector%2C%20start%3D_start%2C%20limit%3D1000)%5B%22items%22%5D)%0A%20%20%20%20_options%20%3D%20%7Brule_label(rule)%3A%20rule%5B%22ordinal%22%5D%20for%20rule%20in%20_summaries%7D%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20_options%2C%20mo.md(%22This%20sector%20has%20no%20recurrence%20rules.%22))%0A%20%20%20%20rule_choice%20%3D%20mo.ui.dropdown(options%3D_options%2C%20value%3Dnext(iter(_options))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Rule%22%2C%20allow_select_none%3DFalse%2C%20searchable%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue)%0A%20%20%20%20rule_choice%0A%20%20%20%20return%20(rule_choice%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(candidate_artifact%2C%20rule_choice%2C%20sector_choice)%3A%0A%20%20%20%20rule_detail%20%3D%20candidate_artifact.rule(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20int(sector_choice.value)%2C%20int(rule_choice.value)%2C%20max_output_bytes%3D65536%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(rule_detail%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20candidate_artifact%2C%0A%20%20%20%20integral%2C%0A%20%20%20%20parameter_bindings%2C%0A%20%20%20%20rule_detail%2C%0A%20%20%20%20sector_choice%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_sector%20%3D%20candidate_artifact.sectors(start%3Dint(sector_choice.value)%2C%20limit%3D1)%5B%22items%22%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20_expressions%20%3D%20rule_expressions(candidate_artifact%2C%20rule_detail%2C%20integral%2C%20parameter_bindings)%0A%20%20%20%20_conditions%20%3D%20%5Bmo.md(%22**Sector%3A**%20%22%20%2B%20%22%2C%20%22.join(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22n_%7Baxis%7D%20%7B'%3E%200'%20if%20active%20else%20'%E2%89%A4%200'%7D%22%20for%20axis%2C%20active%20in%20enumerate(_sector%5B%22sector%22%5D)))%5D%0A%20%20%20%20_case%20%3D%20%5Bmo.md(f%22%24n_%7Bitem%5B'axis'%5D%7D%20%3D%20%7Bitem%5B'value'%5D%7D%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20item%20in%20rule_fixed_conditions(rule_detail)%5D%0A%20%20%20%20_case.extend(mo.hstack(%5Bequation.formatted(max_terms%3DNone)%2C%20mo.md(%22**%3D%200**%22)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22)%20for%20equation%20in%20_expressions%5B%22affine%22%5D)%0A%20%20%20%20for%20_number%2C%20_branch%20in%20enumerate(_expressions%5B%22excluded%22%5D%2C%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_conditions.append(mo.md(f%22**Excluded%20branch%20%7B_number%7D%3A**%20all%20expressions%20below%20vanish%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_branch%20else%20f%22**Excluded%20branch%20%7B_number%7D%3A**%20always%20true%22))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_conditions.extend(expr.formatted(max_terms%3DNone)%20for%20expr%20in%20_branch)%0A%20%20%20%20_conditions.append(mo.md(%22Any%20excluded%20branch%20forbids%20the%20rule%3B%20equations%20within%20a%20branch%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22are%20joined%20by%20**AND**.%20Denominator%20poles%2C%20source%20conditions%20and%20rule%20priority%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22also%20govern%20applicability.%22))%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Rule%20%7Brule_detail%5B'ordinal'%5D%7D%20%C2%B7%20%7Blen(rule_detail%5B'rhs'%5D)%7D%20RHS%20terms**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*(%5Bmo.hstack(%5Bmo.md(%22**Case%3A**%22)%2C%20*_case%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20wrap%3DTrue)%5D%20if%20_case%20else%20%5B%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5B_expressions%5B%22target%22%5D%2C%20mo.md(%22**%3D**%22)%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_expressions%5B%22rhs%22%5D.formatted(max_terms%3DNone%2C%20max_line_length%3DNone%2C%20terms_on_new_line%3DTrue)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Applicability%20conditions%22%3A%20mo.vstack(_conditions)%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Reduce%20completely%20and%20restore%20the%20mass%0A%0A%20%20%20%20Selecting%20an%20integral%20calls%20the%20reducer%20below.%20It%20follows%20the%20certified%0A%20%20%20%20rules%20recursively%2C%20combines%20coefficients%0A%20%20%20%20exactly%20and%20returns%20only%20raw%20terminal%20keys.%20Results%20are%20cached%20per%20target.%0A%0A%20%20%20%20For%20three%20loops%2C%20%24I_M(n)%3DM%5E%7B3d%2F2-%5Csum_i%20n_i%7DI_1(n)%24.%20Thus%20a%20unit-mass%0A%20%20%20%20coefficient%20%24c_a(d)%24%20becomes%0A%20%20%20%20%24c_a(d)%5C%2CM%5E%7B%5Csum_i%20a_i-%5Csum_i%20n_i%7D%24%20multiplying%20%24I_M(a)%24.%0A%20%20%20%20The%20returned%20terms%20include%20this%20integer%20mass%20exponent.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(closing_artifact)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20closing_artifact)%0A%20%20%20%20targets%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Doubled%20propagator%20%C2%B7%20I(2%2C1%2C1%2C1%2C1%2C1)%22%3A%20(2%2C%201%2C%201%2C%201%2C%201%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Two%20doubled%20propagators%20%C2%B7%20I(2%2C2%2C1%2C1%2C1%2C1)%22%3A%20(2%2C%202%2C%201%2C%201%2C%201%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pinched%20graph%20with%20dots%20%C2%B7%20I(2%2C2%2C1%2C0%2C0%2C0)%22%3A%20(2%2C%202%2C%201%2C%200%2C%200%2C%200)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Numerator%20insertion%20%C2%B7%20I(1%2C1%2C1%2C-1%2C0%2C0)%22%3A%20(1%2C%201%2C%201%2C%20-1%2C%200%2C%200)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Scaleless%20sector%20%C2%B7%20I(0%2C0%2C0%2C0%2C0%2C0)%22%3A%20(0%2C%200%2C%200%2C%200%2C%200%2C%200)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20target_choice%20%3D%20mo.ui.dropdown(options%3Dtargets%2C%20value%3Dnext(iter(targets))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Target%20integral%22%2C%20allow_select_none%3DFalse)%0A%20%20%20%20target_choice%0A%20%20%20%20return%20(target_choice%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20closing_artifact%2C%0A%20%20%20%20reduce_with_closing_artifact%2C%0A%20%20%20%20reductions%2C%0A%20%20%20%20target_choice%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20selected_powers%20%3D%20tuple(target_choice.value)%0A%20%20%20%20if%20selected_powers%20not%20in%20reductions%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reductions%5Bselected_powers%5D%20%3D%20reduce_with_closing_artifact(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20closing_artifact%2C%20list(selected_powers))%0A%20%20%20%20reduction%20%3D%20reductions%5Bselected_powers%5D%0A%20%20%20%20return%20reduction%2C%20selected_powers%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20E%2C%0A%20%20%20%20inspection%2C%0A%20%20%20%20master_powers%2C%0A%20%20%20%20parameter_bindings%2C%0A%20%20%20%20reduction%2C%0A%20%20%20%20selected_powers%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20assert%20reduction.status%20%3D%3D%20%22reduced%22%0A%20%20%20%20assert%20reduction.family_fingerprint%20%3D%3D%20inspection%5B%22artifact%22%5D%5B%22family_fingerprint%22%5D%0A%20%20%20%20reduced_terms%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_term%20in%20reduction.terms%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_master%20%3D%20tuple(_term.master_powers)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assert%20_master%20in%20master_powers%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assert%20_term.common_mass_squared_power%20%3D%3D%20sum(_master)%20-%20sum(selected_powers)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Native%20strings%20cross%20only%20the%20display%20boundary%3B%20native%20RustRed%20reduced%20them.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_coefficient%20%3D%20E(_term.unit_mass_coefficient)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_internal%2C%20_original%20in%20parameter_bindings%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_coefficient%20%3D%20_coefficient.replace(_internal%2C%20_original)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_terms.append((_master%2C%20_coefficient%2C%20_term.common_mass_squared_power))%0A%20%20%20%20return%20(reduced_terms%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E%2C%20integral%2C%20mass_squared%2C%20reduced_terms%2C%20selected_powers)%3A%0A%20%20%20%20reduced_expression%20%3D%20sum(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(coefficient%20*%20mass_squared**power%20*%20integral(*master)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20master%2C%20coefficient%2C%20power%20in%20reduced_terms)%2C%20E(%220%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bintegral(*selected_powers)%2C%20mo.md(%22**%3D**%22)%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_expression.formatted(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max_terms%3DNone%2C%20max_line_length%3DNone%2C%20terms_on_new_line%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(master_powers)%3A%0A%20%20%20%20_types%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Type%22%3A%20%22T3%2C1%22%2C%20%22Name%22%3A%20%22Three%20one-loop%20tadpoles%22%2C%20%22Raw%20keys%22%3A%2016%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Representative%22%3A%20%22I(1%2C1%2C1%2C0%2C0%2C0)%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Type%22%3A%20%22T4%2C1%22%2C%20%22Name%22%3A%20%22Two-loop%20sunset%20%C3%97%20one-loop%20tadpole%22%2C%20%22Raw%20keys%22%3A%2012%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Representative%22%3A%20%22I(1%2C1%2C1%2C1%2C0%2C0)%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Type%22%3A%20%22T4%2C2%22%2C%20%22Name%22%3A%20%22Three-loop%20basketball%20(four-line%20banana)%22%2C%20%22Raw%20keys%22%3A%203%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Representative%22%3A%20%22I(0%2C1%2C1%2C1%2C1%2C0)%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Type%22%3A%20%22T5%2C1%22%2C%20%22Name%22%3A%20%22Connected%20five-line%20vacuum%22%2C%20%22Raw%20keys%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Representative%22%3A%20%22I(0%2C1%2C1%2C1%2C1%2C1)%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Type%22%3A%20%22T6%2C1%22%2C%20%22Name%22%3A%20%22Mercedes%20(tetrahedron%20%2F%20K4)%22%2C%20%22Raw%20keys%22%3A%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Representative%22%3A%20%22I(1%2C1%2C1%2C1%2C1%2C1)%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%7B%22Raw%20terminal%20key%22%3A%20integral_notation(powers)%2C%20%22Total%20power%22%3A%20sum(powers)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20powers%20in%20sorted(master_powers)%5D%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%205.%20Terminal%20topologies%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20this%20equal-mass%20input%2C%20changes%20of%20loop-momentum%20variables%20identify%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20raw%20keys%20in%20the%20following%20groups%3A%20%2416%2B12%2B3%2B6%2B1%3D38%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20labels%20follow%20%5BR.%20N.%20Lee%2C%20Figure%202%5D(https%3A%2F%2Farxiv.org%2Fpdf%2F1203.4868%23page%3D5).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20They%20name%20graph%20types%2C%20not%20a%20conversion%20to%20that%20paper's%20normalization.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Each%20representative%20uses%20this%20notebook's%20denominator%20order%2C%20not%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relabeling%20of%20the%20artifact.%20The%20first%20two%20types%20factorize%20into%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lower-loop%20integrals%3B%20the%20last%20three%20are%20connected%20three-loop%20graphs.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.table(_types%2C%20selection%3DNone%2C%20pagination%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20show_column_summaries%3DFalse%2C%20show_download%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**The%20certified%20artifact%20is%20unchanged.**%20The%20following%20table%20and%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reductions%20retain%20all%2038%20raw%20keys%3A%20the%20display%20does%20not%20apply%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20topology%20identifications%2C%20merge%20coefficients%2C%20or%20supply%20an%20additional%0A%20%20%20%20%20%20%20%20proof%20of%20master%20independence.%20Closure%20means%20reduction%20terminates%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20these%20keys%3B%20independence%20and%20basis%20minimization%20are%20different%20questions.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.table(_rows%2C%20selection%3DNone%2C%20pagination%3DTrue%2C%20page_size%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20show_column_summaries%3DFalse%2C%20show_download%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(get_citations())%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A